Перестановкой из n элементов называется любой
упорядоченный набор этих элементов.
Число различных перестановок из n элементов обозначается \(P_n\)
и вычисляется по формуле:
\[ P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n \]
0! = 1
Сочетания(порядок элементов не важен)
Сочетанием из n элементов по m
называется любая совокупность m элементов, выбранных из данных n элементов,
без учёта порядка их расположения.
Число различных сочетаний по m элементов
из n элементов обозначается \(C_n^m\) и вычисляется по формуле:
\[ C_n^m = \dfrac{n!}{m!\,(n - m)!} \]
Размещения(порядок элементов важен)
Размещением из n элементов по m
называется любая упорядоченная совокупность m элементов, выбранных из данных n элементов.
Число различных размещений по m элементов
из n элементов обозначается \(A_n^m\) и вычисляется по формуле:
\[ A_n^m = \dfrac{n!}{(n - m)!} \]
Правило произведения
Если некоторый объект можно выбрать m способами, а другой объект —
независимо от первого — n способами, то оба объекта вместе можно
выбрать \(m \cdot n\) способами.
В общем случае: если событие можно разбить на k независимых шагов,
на i-м шаге есть \(n_i\) вариантов, то общее число способов:
\[ N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k \]
Примеры.
1. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Шаг 2. Сокращаем \(5!\) в числителе и знаменателе — остаются только множители от 6 до 8:
\[ A_8^3 = 6 \cdot 7 \cdot 8 = 336 \]
Можно думать так: на 1-е место можно поставить любого из 8, на 2-е — любого из оставшихся 7, на 3-е — любого из 6. Итого: 8 · 7 · 6 = 336.
Ответ: 336 способов
Вероятность события
Вероятность события — это выраженная в числовой форме мера
возможности появления некоторого события (A или B) в результате опыта.
Обозначается вероятность как P(A) или P(B).
В теории вероятностей отличают:
достоверное событие — гарантированно происходит в результате опыта; \(\,P(\Omega) = 1\)
невозможное событие — никогда не может произойти; \(\,P(\varnothing) = 0\)
случайное событие — лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована; вероятность случайного события всегда в пределах \(0 \le P(A) \le 1\)
Отношения между событиями
Сумма событий A+B — когда событие засчитывается при осуществлении
хотя бы одного из составляющих: A или B, или обоих — A и B.
По отношению друг к другу события могут быть:
Равновозможными. Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные.
Совместными. Если появление события A не сводит к нулю вероятность появления события B, то они совместные.
Несовместными. Если события A и B никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместными.
Противоположными (взаимоисключающими). Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными.
Одно из них обозначают как A, а другое — Ā (читается как «не A»). Появление события A означает, что Ā не произошло.
Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1:
\[ A + \bar{A} \text{ — полная группа,} \quad P(A + \bar{A}) = 1 \]
Зависимыми. Зависимые события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.
Аксиомы теории вероятностей (аксиомы Колмогорова)
1. \(P(A) \ge 0\)
2. \(P(\Omega) = 1\) — вероятность достоверного события равна 1 (\(\Omega\) — пространство событий)
Вероятность события — это отношение количества элементарных
положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно
определённого события. Обозначается вероятность через P(A).
Формула вероятности события:
\[ P(A) = \dfrac{m}{n} \]
где m — количество благоприятных исходов для события A,
n — сумма всех исходов, возможных для этого опыта.
Элементарный исход — это простейший, неделимый результат опыта,
который нельзя разбить на более простые составляющие.
Пример: бросаем кубик. Элементарные исходы: выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 —
каждый неделим. Если A = «выпало чётное число», то m = 3 (исходы 2, 4, 6),
n = 6, поэтому \(P(A) = \tfrac{3}{6} = 0{,}5\).
Ограничение классического определения: формула P(A) = m/n работает
только тогда, когда число всех возможных исходов конечно и их можно перечислить.
В реальных задачах это выполняется далеко не всегда.
Пример: какова вероятность того, что завтра температура будет ровно +2°C?
Температура — непрерывная величина, она может принять любое из бесконечного множества
значений: +2,1°C, +1,99°C, +2,00001°C и так далее. Подсчитать n невозможно —
классическая формула здесь неприменима. В таких случаях используют другие подходы:
статистическую или геометрическую вероятность.
\[ 0 \le P(A) \le 1 \]
Пример.
В ящике находится 7 красных, 5 белых и 4 жёлтых шара. Наудачу вынимают 5 шаров. Найти вероятности следующих событий:
1. 2 жёлтых, 1 белый и 2 красных;
2. 3 красных и 2 белых или 4 жёлтых и 1 белый.
Решение 2). Количество всех возможных исходов \(\left(C_n^m = \tfrac{n!}{m!(n-m)!}\right)\):
Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
\[ P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B) \]
Когда мы считаем P(A) и P(B) по отдельности,
область пересечения A·B попадает в подсчёт дважды —
один раз как часть A, второй раз как часть B.
Чтобы не учитывать её дважды, вычитаем P(A·B) один раз:
P(A+B) = P(A) + P(B) − P(A·B)
Условная вероятность
Определение. Условной вероятностью \(P(B|A)\) или \(P_A(B)\)
называется вероятность появления события B при условии, что событие A уже наступило.
Умножение вероятностей
Теорема 3. Вероятность произведения (совместного наступления) двух событий
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое уже произошло:
\[ P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B|A) \]
\[ P(A \cdot B) = P(B) \cdot P(A|B) \]
Формула полной вероятности
Теорема 5. Пусть событие A может наступить только вместе с одним из нескольких
попарно несовместных событий H₁, H₂, …, Hₙ, образующих полную группу. Будем называть
события (i = 1, 2, …, n) гипотезами до опыта (априори). Вероятность появления
события A определяется по формуле полной вероятности:
Что такое вероятность гипотезы? В контексте формулы Байеса
гипотеза — это одна из возможных причин, которая могла
привести к наблюдаемому событию A. Формула отвечает на вопрос:
«мы видим результат — какая причина наиболее вероятна?»
Пример: с трёх заводов привезли детали: завод 1 — 50%, завод 2 — 30%,
завод 3 — 20%. Случайно взяли деталь — она оказалась бракованной (событие A).
Гипотезы: H₁ = «деталь с завода 1», H₂ = «с завода 2», H₃ = «с завода 3».
Формула Байеса позволяет найти вероятность каждой гипотезы после того,
как результат уже известен.
P(Hₖ) — вероятность гипотезы до опыта (априори):
мы знаем, что 50% деталей с завода 1
P(Hₖ|A) — вероятность гипотезы после того как событие
произошло (апостериори): деталь бракованная — насколько вероятно, что она с завода 1?
Байес позволяет пересмотреть начальные вероятности
с учётом новой информации.